Equação de segundo grau

Olá meus queridos alunos; vamos fazer uma pequena revisão sobre Equação do segundo grau? Então bora! Irei demonstrar as três maneiras que conheço e que já vimos em sala de aula.
O texto a seguir foi tirado na integra do caderno do professor do ano passado. Mudei apenas os números.
A área de um quadrado acrescida de oito vezes o seu lado é igual a 65. Na álgebra moderna, essa sentença é dada pela expressão: x²+8x= 65. O método desenvolvido por Al-Khowarizmi seguia os seguintes passos:
1. As expressões x² e 8x são interpretadas como as áreas de um quadrado e de um retângulo. A solução do problema é, então, a medida do lado do quadrado.
x²+8x= 65
2. O retângulo era dividido em dois retângulos de mesma área. (repare que foi dito que é de mesma área e não de mesmo tamanho, ou seja: podemos deixar um mais comprido do que o outro e continuar tendo a mesma área). A equação era interpretada assim:
x²+2.4x=65
3. Cada retângulo era arranjado de modo que ficasse justaposto a dois lados do quadrado. Com essa composição, a área da figura continua sendo 65.
4. De modo a completar o quadrado acrescenta-vê um quadrado no canto da figura anterior. A medida do lado desse quadrado é a mesma do lado conhecido do retângulo, ou seja, 4. Assim, a área do novo quadrado é 4.4 = 16. Com esse método "completava-se um quadrado perfeito" de lado x+4 e área igual a 65+16=81
x²+2.4x+16=65+16 ou (x+4)²=81
5. Sendo a nova área 81, então a medida do lado do novo quadrado é (raiz quadrada de 81)= 9. Assim, o lado do quadrado x+4=9, portanto x=5 é a solução.

Outra maneira de resolver esse mesmo exercício é usar Formula resolutiva (também conhecida por "Baskhara").
x²+8x=65 como essa equação não esta na forma normal, temos que deixar. Para fazer isso usaremos o método da adição, ou seja: colocaremos um número dos dois lados da igualdade. Exemplo: se acrescentarmos 65 de um lado da igualdade, teremos que colocar do outro lado também, mas tudo isso tem que ter um propósito. Vamos ao exemplo pratico:
x²+8x-65=65-65 (-65). Nesse caso o resultado ficaria assim: x²+8x-65=0, ficando na forma normal, pois assim teremos os três termos do mesmo lado da igualdade, e era essa a intenção!
Agora suponhamos que você adicionasse o número 23? x²+8x+23=23+65 (23)
x²+8x+23=88. Reparem que a equação continua ficando um número depois do igual, com isso concluímos que não resolveu nada ter acrescentado o número 23. Então não é só colocar qualquer número, tem que ter um porque, tem que ter uma razão!
Bom, ficamos então com o primeiro exemplo: x²+8x-65=0
O que faremos agora? Lembre-se que esse exemplo é para ser resolvido usando a formula de Baskhara. Então vamos por partes. Identificaremos primeiro os coeficientes, que são:

Reparem que deu dois resultados possíveis: -13 e 5. Mas como estamos trabalhando com medidas usaremos somente o número positivo, no caso o número 5.

Agora irei resolver a mesma equação pelo método de soma e produto, que consiste no seguinte: primeiro devemos identificar os coeficientes e depois fazer a seguinte pergunta... Quais os números que somados resultam em B e multiplicados resultam em C. Exemplo:

x²+8x-65=0

13+(-5)= 8

13. (-5)= 65

Então temos que os números são x= 13 ou x= 5. Só lembrando que com essa técnica temos que trocar os sinais do resultado. Ficando na verdade a resposta assim: x= -13 ou x=5. Mas uma vez só para relembrar, como estamos trabalhando com medidas não usaremos números negativos.

Como viram, o resultado em todas as operações foi o mesmo. A técnica de resolução fica a critério de cada um. Na verdade nós devemos conhecer todas!