quinta-feira, 9 de agosto de 2012
sábado, 5 de maio de 2012
Determinante
Resolvendo atividades e problemas por Determinante.
Vamos direto para um problema
1) Uma determinada loja cobra por uma bermuda e uma camisa R$90,00 e por três bermudas e duas calças cobra R$230,00. Qual o valor de uma bermuda e de uma camisa?
Chamaremos a bermuda de X e a camisa de Y, resultando no seguinte sistema de equação de 1º grau.
X + Y= 90
3X + 2Y= 230
+ -
De= |1 1| 1.2=2
|3 2| -1.3= -3 então: 2-3= -1
De= -1
+ -
Dx= |90 1| 90.2= 180
|230 2| -1.230= -230 então: 180-230= -50
+ -
Dy= |1 90| 1.230=230
|3 230| -90.3 = -270 então: 230-270= -40
Encontrados os valores de De, Dx, Dy, agora substituir para encontrar os valores de X e Y.
X= Dx = - 50 = 50
De - 1
Y= Dy = - 40 = 40
De - 1
R: Como X=50, uma bermuda custa R$50,00
Como Y= 40, uma camisa custa R$40,00.
O determinante de uma matriz é dado pelo valor numérico resultado da subtração entre o somatório do produtodos termos da diagonal principal e do somatório do produto dos termos da diagonal secundária. Lembrando que uma matriz é quadrada quando o número de linhas é igual ao número de colunas. (www.brasilescola.com).
Vocês devem ter percebido que primeiro eu peguei os números que acompanhavam as incógnitas e as coloquei em forma de matriz. Caso não saibam o que é matriz, explicarei em outra aula.
Para resolver esses exercício foi utilizado a regra de Cramer: mas só poderá ser utilizada na resolução de sistemas que o número de equações e o número de incógnitas forem iguais.
Explicando
Como diz um certo comentarista, a regra é clara:
Multiplicaremos em diagonal as colunas e da direita para baixo iniciaremos com positivo, da esquerda para baixo também em diagonal iniciaremos com negativo.
De= |1 1| +1.2= 2 Positivo multiplicando número positivo resultado positivo.
|3 2| -1.3= -3 Negativo multiplicando número positivo resultado negativo.
Agora fazemos a operação de "soma" com o resultado obtidos nas diagonais:
2-3=-1
Para encontra o valor de x, iremos substituir na matriz o x pelo valor que está do outro lado da igualdade, veja:
Antes de substituir x Já substituído x temos Fazendo as multiplicações fica
| 1 1 | | 90 1 | 90.2=180 Dx=-230+180
| 3 2 | |230 2 | -1.230= -230 Dx= -50
Antes de substituir y Já substituído y temos Fazendo as multiplicações fica
| 1 1 | |1 90 | 1.230= 230 Dy= 230-270
| 3 2 | |3 230| -3.90= -270 Dy= -40
Agora é só substituir para encontrar o valor de cada incógnita.
X= Dx = - 50 = 50
De - 1
Y= Dy = - 40 = 40
De - 1
Lembrando que não existe só essa maneira para resolver um sistema. Por Determinante se torna muito útil quando temos 3 ou mais incógnitas.
Vamos direto para um problema
1) Uma determinada loja cobra por uma bermuda e uma camisa R$90,00 e por três bermudas e duas calças cobra R$230,00. Qual o valor de uma bermuda e de uma camisa?
Chamaremos a bermuda de X e a camisa de Y, resultando no seguinte sistema de equação de 1º grau.
X + Y= 90
3X + 2Y= 230
+ -
De= |1 1| 1.2=2
|3 2| -1.3= -3 então: 2-3= -1
De= -1
+ -
Dx= |90 1| 90.2= 180
|230 2| -1.230= -230 então: 180-230= -50
+ -
Dy= |1 90| 1.230=230
|3 230| -90.3 = -270 então: 230-270= -40
Encontrados os valores de De, Dx, Dy, agora substituir para encontrar os valores de X e Y.
X= Dx = - 50 = 50
De - 1
Y= Dy = - 40 = 40
De - 1
R: Como X=50, uma bermuda custa R$50,00
Como Y= 40, uma camisa custa R$40,00.
O determinante de uma matriz é dado pelo valor numérico resultado da subtração entre o somatório do produtodos termos da diagonal principal e do somatório do produto dos termos da diagonal secundária. Lembrando que uma matriz é quadrada quando o número de linhas é igual ao número de colunas. (www.brasilescola.com).
Vocês devem ter percebido que primeiro eu peguei os números que acompanhavam as incógnitas e as coloquei em forma de matriz. Caso não saibam o que é matriz, explicarei em outra aula.
Para resolver esses exercício foi utilizado a regra de Cramer: mas só poderá ser utilizada na resolução de sistemas que o número de equações e o número de incógnitas forem iguais.
Explicando
Como diz um certo comentarista, a regra é clara:
Multiplicaremos em diagonal as colunas e da direita para baixo iniciaremos com positivo, da esquerda para baixo também em diagonal iniciaremos com negativo.
De= |1 1| +1.2= 2 Positivo multiplicando número positivo resultado positivo.
|3 2| -1.3= -3 Negativo multiplicando número positivo resultado negativo.
Agora fazemos a operação de "soma" com o resultado obtidos nas diagonais:
2-3=-1
Para encontra o valor de x, iremos substituir na matriz o x pelo valor que está do outro lado da igualdade, veja:
Antes de substituir x Já substituído x temos Fazendo as multiplicações fica
| 1 1 | | 90 1 | 90.2=180 Dx=-230+180
| 3 2 | |230 2 | -1.230= -230 Dx= -50
Antes de substituir y Já substituído y temos Fazendo as multiplicações fica
| 1 1 | |1 90 | 1.230= 230 Dy= 230-270
| 3 2 | |3 230| -3.90= -270 Dy= -40
Agora é só substituir para encontrar o valor de cada incógnita.
X= Dx = - 50 = 50
De - 1
Y= Dy = - 40 = 40
De - 1
Lembrando que não existe só essa maneira para resolver um sistema. Por Determinante se torna muito útil quando temos 3 ou mais incógnitas.
quarta-feira, 18 de abril de 2012
Equação exponencial
É tida como Equação Exponencial a expressão que tem como expoente uma incógnita (letra no lugar de número).
Para chegar ao resultado nesse tipo de equação, é necessário começar por igualar as bases. Bases igualadas a próxima etapa será resolver os expoentes. Cada expressão tem o seu método de resolução e depende muito da interpretação e do conhecimento de quem irá resolve-la.
Vamos a um exemplo simples:
Notem que temos no expoente letra e número, logo devemos encontrar o valor dessa incógnita (x).
O primeiro passo é decompor os números de maneira que fiquem em forma de potência de mesma base.
Do lado esquerdo da igualdade temos uma fração que deveremos reescreve-la em forma de potência. A fração ficou assim: 1 sobre três elevado a quarta potência. Fazendo as devidas manipulações reescrevemos: três elevado a quarta potência negativa.
Após as bases igualadas, iremos trabalhar somente os expoentes (lembrando que as bases não somem, nós apenas iremos trabalhar os expoentes em separado).
Como se trata de uma igualdade, tudo que é feito de um lado deveremos fazer do outro.
-4x+8= 3x+3 Aqui para continuar devemos deixar algébrico de um lado e numérico do outro. Para tanto faremos o seguinte: acrescentar de ambos os lados (-8 e -3x). Ficando assim:
-4x+8-8-3x= 3x-3x+3-8
-7x=5 Para continuar deveremos isolar a incógnita. Para isso devemos dividir ambos os lados por 7.
-7x= -5
7 7
-x=-5 multiplicando ambos os lados por (-1)
7
x= 5 Para saber se realmente esse é o valor de X, basta substituir lá em cima, quando igualamos as
7
bases, veja:
-4 (x-2) = 3(x+1) substituindo o valor de X, temos:
-4 (5 - 2) = 3 ( 5 + 1) Aplicando a propriedade distributiva
7 7
-20 + 8 = 15 + 3 Lembrando que estamos provando que a igualdade é verdadeira. Agora m.m.c.
7 7
-20+56 = 15 +21 Soma de fração com o mesmo denominador.
7 7
36 = 36 É, provado que a igualdade é verdadeira.
7 7
Para chegar ao resultado nesse tipo de equação, é necessário começar por igualar as bases. Bases igualadas a próxima etapa será resolver os expoentes. Cada expressão tem o seu método de resolução e depende muito da interpretação e do conhecimento de quem irá resolve-la.
Vamos a um exemplo simples:
O primeiro passo é decompor os números de maneira que fiquem em forma de potência de mesma base.
Do lado esquerdo da igualdade temos uma fração que deveremos reescreve-la em forma de potência. A fração ficou assim: 1 sobre três elevado a quarta potência. Fazendo as devidas manipulações reescrevemos: três elevado a quarta potência negativa.
Após as bases igualadas, iremos trabalhar somente os expoentes (lembrando que as bases não somem, nós apenas iremos trabalhar os expoentes em separado).
Como se trata de uma igualdade, tudo que é feito de um lado deveremos fazer do outro.
-4x+8= 3x+3 Aqui para continuar devemos deixar algébrico de um lado e numérico do outro. Para tanto faremos o seguinte: acrescentar de ambos os lados (-8 e -3x). Ficando assim:
-4x+8-8-3x= 3x-3x+3-8
-7x=5 Para continuar deveremos isolar a incógnita. Para isso devemos dividir ambos os lados por 7.
-7x= -5
7 7
-x=-5 multiplicando ambos os lados por (-1)
7
x= 5 Para saber se realmente esse é o valor de X, basta substituir lá em cima, quando igualamos as
7
bases, veja:
-4 (x-2) = 3(x+1) substituindo o valor de X, temos:
-4 (5 - 2) = 3 ( 5 + 1) Aplicando a propriedade distributiva
7 7
-20 + 8 = 15 + 3 Lembrando que estamos provando que a igualdade é verdadeira. Agora m.m.c.
7 7
-20+56 = 15 +21 Soma de fração com o mesmo denominador.
7 7
36 = 36 É, provado que a igualdade é verdadeira.
7 7
sexta-feira, 16 de março de 2012
Progressão aritmética
Progressão aritmética ou simplesmente (PA), é toda sequência de números cujos termos a partir do segundo, é a soma do anterior com uma constante.constante.
Em outras palavras: em uma sequência numérica, se subtrairmos do segundo termo o primeiro termo, subtrairmos do quarto termo o terceiro termo, e assim por diante; encontrarmos como resultado o mesmo número, então temos uma PA. Esse número, do resultado da subtração é chamado de razão (r).
Exemplo:
a) (2,4,6...) = 4 - 2 = 2 e 6-4= 2 a razão é 2. r=2
b) (49,42, 35...) = 42 - 49 = -7 e 35 - 42 = -7 a razão é -7. r=-7
c) (3,3,3...) 3-3 = 0 a razão é 0
d) ( -32, -26, -20...) -26 -(-32) = 6 e -20 - (-26) = 6 a razão é 6. r= 6
Classificação de uma PA de razão r é:
Em outras palavras: em uma sequência numérica, se subtrairmos do segundo termo o primeiro termo, subtrairmos do quarto termo o terceiro termo, e assim por diante; encontrarmos como resultado o mesmo número, então temos uma PA. Esse número, do resultado da subtração é chamado de razão (r).
Exemplo:
a) (2,4,6...) = 4 - 2 = 2 e 6-4= 2 a razão é 2. r=2
b) (49,42, 35...) = 42 - 49 = -7 e 35 - 42 = -7 a razão é -7. r=-7
c) (3,3,3...) 3-3 = 0 a razão é 0
d) ( -32, -26, -20...) -26 -(-32) = 6 e -20 - (-26) = 6 a razão é 6. r= 6
Classificação de uma PA de razão r é:
- CRESCENTE: se cada termo é maior que o anterior.
- DECRESCENTE: se cada termo é menor que o anterior.
- CONSTANTE: se os termos são iguais entre si.
Exercício:
sábado, 28 de janeiro de 2012
ÔNIBUS
Um pequeno comentário sobre nossos coletivos:
Temos uma das tarifas mais caras do mundo, os funcionários mais mal humorados e mal educados do mundo e os passageiros mais passivos do mundo.
Você entra no busu (ônibus) e já percebe que o motorista não está de bom humor (se você for homem claro, se for mulher e estiver de shortinho, sainha... a coisa muda). Ao chegar na catraca se o cobrador não estiver de papo com as gatinhas, ele estará mechendo no seu celular ou em uma ligação e você PASSIVAMENTE espera por sua atenção que pode demorar um pouco...
Tanto na ida, quanto na volta os passageiros falam alto, tanto em uma conversa pessoal, quanto em uma conversa via celular (que geralmente é ching-ling de dois, três chips). Em poucos minutos de viagem você já sabe que o ex de uma passageira na frente está sendo procurado porque não pagou pensão, que o vizinho da pessoa que está do seu lado brigou a noite toda com a mulher, que e o prefeito de uma determinada cidade está sendo procurando pela polícia Federal (você ouviu uma passageira berrar essa informação pelo celular novo que ela faz questão de mostrar).
Os ônibus de São Paulo não são tão ruins assim... mas do que adianta o busu ter até 12 portas, 30 metros de comprimento, Ar condicionado (que geralmente não funciona), ser piso baixo, se: o abençoado motorista para a 2 metros longe da calçada ou as vezes nem para quando percebe que é um deficiente, idoso ou até mesmo quando você está cheio de sacolas, criança no colo)? Precisamos sim desses ônibus confortáveis, mas precisamos também de mais humanidades, respeito um pelo outro.
Ah! Já estava esquecendo de mencionar aqueles idiotas que não contente com o volume ensurdecedor dos celulares ching-ling, agora estão usando caixas amplificadas ching-ling. Usar essas caixas na rua já é uma ofensa, agora dentro de um coletivo!!! Aliás a lei número 6.681, de 1965 diz: É PROIBIDO FAZER USO DE APARELHOS SONOROS dentro do coletivo. Então se você não é passivo, faça valer seus direitos.
Temos uma das tarifas mais caras do mundo, os funcionários mais mal humorados e mal educados do mundo e os passageiros mais passivos do mundo.
Você entra no busu (ônibus) e já percebe que o motorista não está de bom humor (se você for homem claro, se for mulher e estiver de shortinho, sainha... a coisa muda). Ao chegar na catraca se o cobrador não estiver de papo com as gatinhas, ele estará mechendo no seu celular ou em uma ligação e você PASSIVAMENTE espera por sua atenção que pode demorar um pouco...
Tanto na ida, quanto na volta os passageiros falam alto, tanto em uma conversa pessoal, quanto em uma conversa via celular (que geralmente é ching-ling de dois, três chips). Em poucos minutos de viagem você já sabe que o ex de uma passageira na frente está sendo procurado porque não pagou pensão, que o vizinho da pessoa que está do seu lado brigou a noite toda com a mulher, que e o prefeito de uma determinada cidade está sendo procurando pela polícia Federal (você ouviu uma passageira berrar essa informação pelo celular novo que ela faz questão de mostrar).
Os ônibus de São Paulo não são tão ruins assim... mas do que adianta o busu ter até 12 portas, 30 metros de comprimento, Ar condicionado (que geralmente não funciona), ser piso baixo, se: o abençoado motorista para a 2 metros longe da calçada ou as vezes nem para quando percebe que é um deficiente, idoso ou até mesmo quando você está cheio de sacolas, criança no colo)? Precisamos sim desses ônibus confortáveis, mas precisamos também de mais humanidades, respeito um pelo outro.
Ah! Já estava esquecendo de mencionar aqueles idiotas que não contente com o volume ensurdecedor dos celulares ching-ling, agora estão usando caixas amplificadas ching-ling. Usar essas caixas na rua já é uma ofensa, agora dentro de um coletivo!!! Aliás a lei número 6.681, de 1965 diz: É PROIBIDO FAZER USO DE APARELHOS SONOROS dentro do coletivo. Então se você não é passivo, faça valer seus direitos.
domingo, 23 de outubro de 2011
Medidas
Boa tarde galera do bem. Segue abaixo alguns problemas pra vocês resolverem. Bons estudos.
1) Qual a área de um quadrado que tem seu lado medindo 6cm?
2) Um retângulo tem as seguintes medidas: 7m por 9m. Calcule sua área e perímetro.
3) André quer mudar o piso da cozinha de sua casa. A cozinha mede 6 metros de comprimento e 4 metros de largura. Calcule quanto ele irá gastar se pagar R$15,00 no metro do novo piso.
4) O quarto de Patrícia tem o formato de um quadrado e ela precisa aumentar 2 metros de um lado e 3 metros do outro para que fique do tamanho adequado. Sabendo que o quarto tem 49m² de área, qual será a nova medida do quarto e qual será a nova área? Dica: primeiro calcule a medida do lado do quarto para depois somar as novas medidas.Tem um exercício semelhante a esse na página 6, exercício 6
quarta-feira, 28 de setembro de 2011
Atividade para alunos do 8º ano
Boa tarde turma. Os exercícios a seguir devem ser feitos com muita atenção, pois um simples erro pode fazer com que toda a questão fique errada.
1) Localize os pontos no plano cartesiano e em seguida ligue os pontos.
a) A (-12, -1), B ( -10, -1), C ( -9.-2), D ( -9,-3), E ( -10,-4), F (-12,-4), G ( -13, -3), H (-13, -2)
b) I ( 0,10), J ( 4,10), K ( 4,6), L (0,6)
c) M ( 7,14), N (13,6), O (6,6)
d) P (-10,13), Q (-5,13), R( 7,10), S( -12, 10)
2) Localize os pontos ligando-os para descobrir o desenho. (Dica: é um desenho composto por triângulo e quadriláteros).
1) Localize os pontos no plano cartesiano e em seguida ligue os pontos.
a) A (-12, -1), B ( -10, -1), C ( -9.-2), D ( -9,-3), E ( -10,-4), F (-12,-4), G ( -13, -3), H (-13, -2)
b) I ( 0,10), J ( 4,10), K ( 4,6), L (0,6)
c) M ( 7,14), N (13,6), O (6,6)
d) P (-10,13), Q (-5,13), R( 7,10), S( -12, 10)
2) Localize os pontos ligando-os para descobrir o desenho. (Dica: é um desenho composto por triângulo e quadriláteros).
A( 4,-3), B (11, -3), C (11, -6), D (6,-6), E (11, -10), F (6,-10), G ( 2, -10), H (2,-6).
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